物理中的數學（一）：粒子運動學和微積分

受友人所托，要寫一些在物理中使用的數學。目標讀者是中學生。我想是有一點難度的，因為老實說，中學裡的物理課所用的數學是太簡單了。在大學的物理，最低限度也需要 Linear Algebra 和 Multi-variable calculus 才可以完成大學物理的本科課程。相比起中學那些代數，真正的物理所用的數學可以說是艱難多了。因此，如果沒有這些數學根底，也許很難會對我在這所談的物理或數學提起興趣吧！那就有點失去了寫這一系列文章的意義了。不過，無論如何，先寫寫吧。

在第一篇裡，我打算寫寫粒子運動學 (particle dynamics) 中所使用的微積分 (calculus)。當然，為了令（至少是會考的）中學生們對他們所學有所共鳴，我只會討論一下最簡單的一維粒子運動學，而所需的微積分也是中學生們會學到的。

不知道是否中學的課程愈來愈容易，我中學時所學到的粒子運動學只需要運用到代數，並不需要用到微積分的。最主要的原因是題目限制了當中的加速度 (acceleration) 是常數 (constant)。描速這種運動系統的方程就只需最基本的四條，如下：

• s=s_0+ut+\frac{1}{2}at^2
  
• v^2-u^2=2as
  
• v=u+at
  
• s=\left( \frac{u+v}{2} \right) t
  

($s$: displacement; $u$: initial velocity; $v$: final velocity; $a$: acceleration; $t$: time duration; $s_0$: initial displacement, assumed to be zero)

你可有留意總共有五個變數（$s_0$ 不算），但每一條中只有四個。因此，對於這種 constant acceleration 的系統，如果你知道了其中三個量，其餘的量也可以由以上的方程中找出來。簡單麼？

但是，現實宇宙中有多少東西只會作 constant acceleration 的運動呢？不是沒有，只是不太「現實」。自由落體 (Free falling) 在現實中會出現嗎？不是不會，不過在地球上的話就有 air friction 囉，要真正的 Free fall 嗎？大概要去月球吧！

好吧！要做「真實」一點的物理，我們一定不可以假設加速度是常數，而是一個隨時間改變的變數 $a(t)$。對應以上四條的式子就變成：

• v(t)=u+\int_{t_0}^{t} a(t) dt
• s(t)=s_0+\int_{t_0}^{t} v(t) dt
• v(t)=\frac{d}{dt}s(t)
• a(t)=\frac{d}{dt}v(t)

在這，我就不講解如何得到這些式子了，反正學過微積分的同學們都很容易理解。可是，你可能反而從這裡理解何謂微積分。移位 (displacement) 對時間的改變就是速度 (velocity)，速度對時間的改變就是加速度 (acceleration)。物理在這裡就提供了一個比較直觀的解釋，而不再是一般中學數學教師所講的，微分就是求 graph 的 slope，積分就是求 graph 「底下」的面積。這其實是很自然的事，因為當初微積分就是為了要解決物理問題而發明的。

在這討論了一維的事況，其實在三維都差不多，因為在牛頓力學中，x y z 三個方向是可分拆的 (decoupled)，即可以將其獨立出來，再運用以上的方法便可解決問題了。你可能會想，哪還不是一樣容易嗎？其實問題的難度不在維度，而是在粒子的數目。我們只討論了單粒子（或剛體）的運動學，如果是兩粒那還可以有 analytic solution，如果是三粒或以上，基本上是解不出來的，除非是一些特別的系統。這時候，物理學家就只好用其他的方法去解問題了。例如太陽系八大行星，以前就會用 perturbation 的方法來做，現在就用 numerical method 在電腦上做計算好了。

好吧，就談到這裡。下次應該會談些線性代數 (linear algebra) 的東西。